L.105.5B110 Funktionalanalytische Methoden partieller Differentialgleichungen

Lehrende: Dr. Tobias Weich

Veranstaltungsart: Vorlesung (mit Übung)

Orga-Einheit: Mathematik

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Unterrichtssprache: Deutsch

Min. | Max. Teilnehmerzahl: - | -

Voraussetzungen und Empfehlungen:
Analysis 1-2, Lineare Algebra 1-2, Reelle Analysis und Funktionentheorie

Ziel der Veranstaltung:
Ziel der Vorlesung ist es die grundlegenden Begriffe und Methoden der Funktionalanlysis kennen zu lernen wobei ein spezieller Schwerpunkt auf deren Auftreten im Kontext partieller Differentialgleichungen gelegt wird.

Inhalt:
Der große Reiz der Funktionalanalysis ist, dass die im Grundstudium erworbenen Konzepte der Analysis (Stetigkeit, Grenzwerte, Vollständigkeit) und Linearen Algebra (Vektorräume, lineare Abbildungen, Eigenwerte) konsequent zusammengeführt werden und gemeinsam eine Theorie liefern, die wiederrum in vielen Bereichen der Mathematik und Physik ein unabdingbares Werkzeug ist. Im Rahmen des Masterschwerpunktes Partielle Differentialgleichungen sollen in dieser Vorlesung insbesondere die Anwendung im Studium partieller Differentialgleichungen im Fokus liegen.

Im Detail sollen folgende Themen behandlet werden:

• Banach-Räume, Hilbert-Räume (insbesondere Lp- und Sobolev Räume) und beschränkte lineare Operatoren darauf.
  
• Grundlegende Sätze der Funktionalanalysis (Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Satz vom abgeschlossenen Graphen...)
  
• Kompakte Operatoren und Fredholm Theorie
  
• Spektraltheorie kompakter Operatoren
  
• Grundzüge nicht beschränkter Operatoren
  
• Anwendungen auf Randwertprobleme elliptischer partieller Differentialgleichungen
  

Ansprechpartner:
Tobias Weich und Lasse Wolf

Literatur:

• Werner, D. Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg, 2006.
  
• Reed M. and Simon B. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. New York: Academic, 1980.
  

Wichtige Hinweise:
Es ist noch unklar, ob die VL und Übungen aufgrund der Corona Pandemie in Präsenzform stattfinden können. Falls nicht sollen Vorlesungs- und Übungsbetrieb in großen Teilen mit Lehrvideos und Viedo Konferenzen realisiert werden.

Aktualisierte Informationen zur VL:

https://math.uni-paderborn.de/ag/arbeitsgruppe-spektralanalysis/lehre/l1055b710-funktionalanalysis